椭圆的基本概念

椭圆是平面上一条确定的轨迹，它是距离两个定点距离之和为常数的所有点的轨迹。

椭圆可以用标准方程表示：$\\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \\dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中 $(h,k)$ 是椭圆中心的坐标， $a$ 和 $b$ 分别是椭圆长轴和短轴的长度。

椭圆的周长公式是：$C = 4aE(m)$，$E(m)$ 是椭圆积分函数，$m = \\sqrt{1-\\dfrac{b^2}{a^2}}$。

椭圆的面积公式

椭圆的面积公式是：$A = \\pi ab$

证明如下：

将椭圆沿着长轴分成许多个矩形条带，每个矩形条带的面积可以近似看作是宽为 $dx$, 高为 $2y$ 的矩形，总面积为：

$$ A = 2 \\int_{-a}^{a} y \\, dx \\\\ = 2 \\int_{-a}^{a} \\sqrt{a^2 - x^2} \\, dx \\\\ = 2a \\int_{-1}^{1} \\sqrt{1-t^2} \\, dt \\\\ = a\\pi $$

其中， $t = \\frac{x}{a}$，第三步到第四步使用了椭圆积分的换元公式 $t = \\sin u$ 的形式。

因此，椭圆的面积公式可以推出来：$A = \\pi ab$。

应用

椭圆的面积公式可以用于计算地球椭球体积的近似值。地球的平均半径约为 $6371$ 千米，而地球形状近似为一个椭球体，因此，它的椭圆长轴和短轴的长度可以分别看作是 $6378$ 和 $6357$ 千米。利用椭圆的面积公式计算出地球的体积约为 $1.08 \imes 10^{12}$ 立方千米。